Entiers tels que 23x = 13y - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les entiers \(x\) et \(y\) tels que \(23x=13y\) .

Solution

Soit \((x;y) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(23x=13y\) . On en déduit que \(13\) divise \(23x\) . Or \(13\) et \(23\) sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, \(13\) divise \(x\) . Ainsi, il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(x=13k\) .
On a alors    \(13y=23x=23 \times 13k\) , et donc    \(y=23k\)  .

Réciproquement, si \((x;y)=(13k;23k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) , alors \(23x=13y\) .

Finalement, \(S=\left\lbrace (13k;23k) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .